陶哲軒和趙宇飛的學生聯手，給數學界整了個新驚喜：
讓組合數學領域大難題之一——從無序中證明有序，取得了23年來的重大突破。
這個問題有多難？
用知名華裔數學家、MIT副教授趙宇飛本人的話說，是“我不會建議任何學生去做這個課題”。
有意思的是，這甚至還是個“意外”收獲：
陶哲軒弟子、剛上研究生二年級的James Leng（以下簡稱小冷）原本試圖延續另一位菲爾茲獎得主——蒂莫西·高爾斯的理論研究。
但搞了一年多，他幾乎是“一無所獲”。
就在一籌莫展之時，他遇上了趙宇飛的兩位天才學生——本科期間就聯手發了十幾篇論文的Ashwin Sah（以下簡稱小薩）和Mehtaab Sawhney（以下簡稱索哥）。
三人一碰頭，頓時靈光乍現：小冷這研究思路用到塞邁雷迪定理上，那說不定真能整出點新進展。
幾個月后，都還在攻讀博士學位的三個年輕人真的做到了——
23年首次突破組合數學難題
小冷、小薩和索哥的這項研究，是組合數學領域的一大難題，是對塞邁雷迪定理的進一步研究。
塞邁雷迪定理由2012年阿貝爾獎得主、匈牙利數學家塞邁雷迪·安德烈（Szemerédi Endre，注：匈牙利人的習慣是姓前名后）于1975年證明，其中說到：
若一個整數集A具有正的自然密度，則對任意的正整數k，都可以在A中找出一個包含k項的等差數列。
所謂具有正自然密度，就是當n趨于無窮時，A與1,2,…,n這個數列的交集中元素個數與n的比值大于0。
比較著名的反例就是2,4,8…這樣的等比數列，它們被認為在數軸上“過于稀疏”，不具備正自然數密度。
這個理論的猜想由兩名匈牙利數學家埃爾德什·帕爾（Erd?s Pál）和圖蘭·帕爾（Turán Pál）在1936年提出。
顯然對于k=1和2的情況，這個結論毫無疑問是成立的，k=3的情況則在1953年由英國數學家克勞斯·羅特證明。
到了1969年，塞邁雷迪用組合數學方法證明了k=4的情況，直到終證明該結論對任意k均成立。
后來，又有數學家利用遍歷理論、傅里葉分析等其他方法證明了這一結論。
這也讓陶哲軒為之感慨，還把該定理的眾多證明稱為“羅塞塔石碑”，因為它們連結了幾個乍看起來完全不同的數學分支。
但總之，塞邁雷迪定理的證明并不是一個終點，而且還開啟了新的討論。
塞邁雷迪定理還有另一種表述形式——
若在正整數1-N中取一個子集，使得對于某一k值，在該子集中找不到長度為k的等差數列；
則當N趨近于無窮時，該子集的大小r_k(N)與N的比值趨近于0。
不過這個比值趨近于0的速度究竟是怎樣的，仍然是一個未知數，也就成了后續這幾十年的研究課題。
前面提到，有人用傅里葉分析方法給出了塞邁雷迪定理的新證明，這個人就是1998年菲爾茲獎得主、英國數學家蒂莫西·高爾斯（Timothy Gowers）。
更重要的是，高爾斯同時給出了r_k(N)與N比值的上界，即該比值下降的速度不會慢于某個特定的函數。
這個函數長這樣：
此后的20多年來，不斷有人針對具體k值，對r(N)的范圍給出了更精確的上界。
比如在2017年，陶哲軒和英國數學家本·格林（Ben Green）一起給出了k=4時的新上界。
然而，對k取任意值的情況一直未有新的進展，直到這次研究的出現。
2022年，正在加州大學洛杉磯分校（UCLA）讀研二的小冷開始研究起了高爾斯的理論。
不過他腦海里的是高爾斯提出的幾個技術問題，并沒有想到塞邁雷迪定理。
一年很快過去，小冷沒有得到任何成果，但他的研究引起了小薩和索哥的注意。
他們意識到，小冷的研究可能有助于在塞邁雷迪定理上取得進一步進展。
于是三位年輕的數學家走到了一起，并在幾個月之內就想出了k=5時更精確的上界。
直到今年，三人又把這一結論推廣到了k為任意取值的情況，成為了23年以來在這個問題上重大的突破。
證明的核心在于應用了高爾斯U^(k+1)范數的逆定理，這是一個與傅里葉分析相關的高級工具，它提供了一種衡量函數在某種意義上接近于零的方法。
該逆定理也是由三人發現的，用了足足100頁的論文進行闡述。
其中指出，如果一個函數在范數意義上足夠大，那么它必然與某些具有特定結構的序列相關聯，這些序列在數學上被稱為“結構性對象”。
利用這個逆定理，作者們將問題從原始的整數集合，轉移到了具有特定代數結構的nilmanifolds流形上。
通過深入分析這些流形上的nil序列，作者們實現了對這些序列在整數集合上變化的控制。
然后，他們通過對集合進行分解并運用密度增量策略，逐步增加不包含k項等差數列的子集密度，直到達到某一閾值或無法繼續增加。
經過迭代這個過程，作者們證明了存在一個足夠大的子集，其密度遠高于之前的結果，實現了k=5時結論向著更高k值的推廣。
陶哲軒趙宇飛的天才學生們
三位作者中，小冷（James Leng）目前就讀于加州大學洛杉磯分校（UCLA），師從菲爾茲獎得主陶哲軒。
他的主要研究方向是算術組合學、動力系統和傅里葉分析。
而小薩（Ashwin Sah）和索哥（Mehtaab Sawhney）都是MIT副教授趙宇飛的學生。
小薩其人，不可謂不是一位“天才少年”。
他是2016年國際奧林匹克數學競賽（IMO）金牌得主，2018年還獲得過首屆阿里巴巴全球數學競賽銀獎。
剛上大一，小薩就跑去聽了趙宇飛研究生級別的組合數學課。這迅速引起了趙宇飛的注意：
盡管他只是大一的學生，但很顯然，他已經掌握了這門課程。
就在本科期間，小薩已經有20多篇數學論文在手——并且他只用了兩年半時間就從MIT本科畢業了。
其中，還包括在拉姆齊數方面的重大突破：給出了拉姆齊數的新上限，被認為是“使用現有研究線索可以獲得的佳結果”。
索哥（Mehtaab Sawhney）比小薩高一年級，他同樣在本科期間就參與了趙宇飛的組合數學課程。
打從本科起，索哥和小薩就是彼此的科研搭子，關系密切到索哥主頁列出的70篇論文里，有60篇都帶小薩的名字。
而導師趙宇飛在本科時對他倆的評價就是：
（MIT）的本科生研究有著悠久的歷史和傳統，但在論文的質量和數量上，都達不到Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney的水平。
目前，索哥已經率先博士畢業，獲得了哥倫比亞大學的教職，還在今年年初被任命為克萊研究員。
△小薩索哥和趙宇飛合影，圖源：MIT
兩位老友的合作仍在繼續，這也令外界感到期待。他們的導師趙宇飛是這樣說的：
他們的非凡之處在于總能理解極具技術挑戰的事物并加以改進。
很難用語言概括他們的整體成就。
參考鏈接：
[1]https://arxiv.org/abs/2402.17995
[2]https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/
[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di%27s_theorem
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